欧几里得的定义经常由一些相关的可视化图形和“公理”构成，这些公理是一些我们强加于它们的理念化的属性。
当代数学中，人们或多或少地将自己限定在康托尔集的思维图景中，包括有限的集合的属性和从给定集合中构造新集合的方法的目录。接着，我们所有的定义都可以作为对一种特定结构、集合构成、子集等等的有限描述的构思。这一观念是由布尔巴基学派发展而来的，它被证明对于认知数学知识是一种有力的、便捷的和被广泛接受的方式。不可避免的，它也具有相反的作用，新欧几里德传统的数位系统成为它最大的靶子，但是其范式的优点仍是无可争议。最最不济，它也促成了不同领域的数学家们一种非常有效的交流方式。
如果人们接受将集合论形式作为一个更遥远的结构的基础，那么就只有集合论公理保留着欧几里德理念中的“公理性”，就像一些直觉性的发现，它的性质不需要更多的论证，然而，实数原理以及平面几何的性质，在集合论化的对象中都是明确可证的。
布尔巴基学派，在他们多卷本的当代数学中，发展了这一图景，并为其加入了美妙的“结构数学（structures meres）”概念。
在更广泛的框架下，人们可以讨论，数学家发展了一种独特的论证活动，它也许可以被称为定义的文化。这一文化中，诸多努力都投入到内容的准确性之中，抽象概念的基础以及相关作用的语法。然而，对于词汇（或者更高一级地说符号）的选择，却是次要的，甚至是随意约定的，惯例、美学考虑、或者对内涵的适宜表达，成为其支配力。这可以与一些人道主义论述的习惯相对照，就像存在（dasein）或异化（differance）可以像一些确定的传统标记一样被严格地使用，而不造成太多词义上的困惑。
I,4 问题，猜想和研究规划
最近几十年或者近一个世纪，通过我们巨大的努力，一次又一次，一份又一份的论文，使得许多重要的问题或猜想被证明，或者至少有了重大突破。费马最后定理、庞加莱猜想、黎曼猜想或者N/NP问题甚至登上了报纸头条。
1900年8月8日，在巴黎举办的国际数学大会上，大卫·希尔伯特提出了10个最重要的数学问题，在发表的版本中，被编译为23个问题组成的框架。人们可以在科学层面讨论它们，但自然地，这些问题也发挥了另一重要作用，就是关注了一些被确定好的数学工作的奋斗方向，这为年轻的学者提供了一个清晰的任务和动机。
一个是/否性的问题，最终是关于有效性或者对一种特定状态的猜想（就如哥德巴赫猜想，对所有≥4的数，都是两个素数之和）。一个研究规划是对一个广阔视野的轮廓、一张整体图景的地图、一个域性进行的综合审查。其它问题则根据类比、特殊情形的实验等等要素进行猜想。
二者的差异并不那么明显。第一个问题，连续统假设，在康托尔和希尔伯特的时代，它像一个是/否性的问题，但很快演变为一个巨大的研究性问题，尤其是在被广泛接受的集合论公理下，是否两种答案都是可以进行推论的。
另一方面，对于研究规划的清晰构思极具挑战性，第6问题是对物理公理化的设想，之后的30年，物理学的面貌发生了巨大改变。
最近几十年，一些影响最为深远的研究规划，洞悉着柏拉图理念世界的复杂结构。A.韦伊猜想，存在对于有限特性的代数流形的上同调理论，格罗滕迪克构建了它们，这永远地改变了我们对于连续性和离散性关系的理解。
庞加莱说，没有被解决的问题，只是它们被解决了多少。他是在暗示，认为所有问题都可以归为是/否型的风尚，是一种狭隘的想法。
克莱研究所发布的千禧年问题列表开启了21世纪的曙光，其中的7个问题是是/否型的，而第一次，计算机科学引发的问题，著名的N/NP猜想出现了。此外，克莱研究所对问题明码标价，解决任何一个问题将获1000000美元，显然，这一定价并没有受到自由市场的影响。
II 作为一种认知工具的数学
II,1 历史:
古老文本中对数学历史的记载，认为数学是一种源于应对贸易需求以及公共事务或战争事务的独特活动，例如上文提到的苏美尔-巴比伦的行政改革。
中国古书《九章算术》可以作为另一实例，它编纂于我们的纪元起始前后的汉朝。在此我们依据1998年在柏林举办的国际数学大会上K·Chelma 的所做的报告【Che】，该著作是一本关于系列的普遍运算问题以及其解答的集合，用作解决其它结构相似的问题的参考。依据Chelma的观点，“汉朝官僚机构需要经常性面对一些特定问题，为使其更为精确，这些问题都由‘大司农’负责，例如统计公务员、管理仓储、制定谷物计量标准等等。此外，《九章算术》的第六章是根据经济计量命名的，事实上这是当时大司农桑弘羊的建议，用以公正赋税，其中一些方法提供了经典的数学步骤。”
对于古代中国数学家所关注的问题，在曲安京著作《中国数学史的第三种路径》（the third approach to the history of mathematics in China）中给出了另一描述【Qu】。
“在漫长的古中华帝国历史中，数学天文学是唯一保持对规则的认真关注的严谨科学。历朝历代，皇家的天文观测都是国家不可或缺的部分，数学家、天文学家和占星家是三种皇家雇佣的专业的科学家，被称作数学家的人们负责创立历法的计算方式，大部分数学家被训练制定历法。”
历法制造者被要求对预测保持极高的精确度，他们不断努力提供一种确保天文观测精度的算术方法，对于用几何模型取代这种算术方式，既无必要也无可能，因为对古代中国历法系统而言，它已经成为一种原则性的职责。作为一种相比几何学，与算术、代数更为紧密相关的学科，它成为了古代中国数学领域发展最大的项目。
西方传统则应追溯至古希腊，按Turnbull的理论，“数学”一词，以及其分支，算术、几何都应归功于毕达哥拉斯（前569-500）。更精细地说，算术学和音乐研究离散问题，几何学和天文学则研究连续性问题。二级二分法，几何学/天文学，对应二分法，稳定性/运动性。
一些补充，分类学源于中世纪的“四艺”，阿蒂亚爵士对数学的整体性视野，也依旧遵循这一路线。
在《理想国》一书中（第七卷，525c），柏拉图（前429-348）解释了为何具有智识的公民应研习算术学的根本原因：
“它是这样一种智识，格老孔，它规定了适宜的律法。我们必须尽量劝说那些我们国家的负责人们，去研习数学，不是业余爱好，而是必须持续研究直至数字的自然属性了然于心。也就像，商人和小贩拥有对买卖的观念，却是为了其军事用途，也为其灵魂自身。这将是灵魂通往真理与本质的捷径。”
随着“纯数学”的逐渐展现，用于实际所需的数学被归类为“应用数学”。正如我们所知，纯数学与应用数学的对立被明确提出，是在19世纪初。在法国，热尔岗（Gergonne）编辑了由1810年持续至1833年的《纯数学与应用数学年鉴》。在德国，格列尔（Grelle）于1826年创立的《纯数学和应用数学期刊》。
II,2 数学的认知工具：
为了理解数学为何可用以理解真实世界，我们适当地将其分为以下三个模式进行说明：模型，理论以及隐喻。
一个数学模型从质的和量的属性上描述了现象的确定性范围，而不易被变换成其它更多东西。
从托勒密的用以描述行星运动的“本轮（epicycles）”，到用于描述基本粒子间相互作用的“标准模型（standard model）”，“量的”模型依靠调整有时多达数十种自变量的数值（“标准模型”中有多于20种自变量），以符合显著的实在性。这种模型可以非常精确。
“质的”模型提供了对可变性/不可变性/吸引子的洞悉，这些不受初始态影响的极限状况常常出现。复杂系统中的临界现象，当系统经历两种相位阈值或不同吸引子的流域时，便会发生。近期一则报道致力于对洛杉矶故意杀人事件的预测【KGSIPW】，它运用了一种非频发事件识别模型的方法。结果如下：我们发现，根据凶杀案概率上升期前11个月内犯罪统计的特定模型，“入室盗窃和暴力袭击同步上升，抢劫和凶杀则会下降。”同时变化，但上升和下降并非单调的，而是偶发的，但都会持续2-6个月。
计算机带来不断增加的模型，如今已进入工业化生产和数字化处理时代。R.M.Solow在一篇富有洞见的随笔中提出【Sol】，今天的主流经济学涉及的主要内容便是模型构建。
模型时常与隐藏输入的编码程序结合，作为一种“暗箱”使用，而其神谕般的输出为人类使用者制定行为规范，例如在金融交易中。
区分一种（用数学方法设计物理学）理论和模型主要是考察它们更高的目标。现代物理理论时常声称，它们可以以绝对的精确性来描述世界，仅当，世界由一些可控的物质变化构成。就像：大质点只遵循引力法则；电磁场处于真空中。牛顿的力学法则，是作用于引力场中心的。或许和要为可测量的实在性做出妥协，但中的2则是坚若磐石的，它不是之类的东西，无论实验物理学家通过怎样的测量去反对它。一种关于“量的”好理论对于工程学大有益处，机械是一种人造的宇宙的片段，其中只有少量的物理定律被允许用于控制一个被恰当隔离的物质环境。在这个意义上，理论支撑着模型。
不断出现的驱动力促使理论更新换代，如今关于实在性的概念已超越了物质世界，认为实在性或者只能通过数学工具来理解。从柏拉图“实体”到伽利略的“自然之书”到量子超弦，其中有种心理学的痕迹，它甚至与显而易见的哲学研究的方式相冲突。
一种数学隐喻，当它试图成为认知工具时，即认为一些复杂的现象的变化应与数学结构相比照。我所理解的最近的一种数学隐喻便是“人工智能”（AI），一方面，AI是一种与计算机和新的技术实体相关联的知识体，它由硬件、软件、网络等等构成。另一方面，它是一种关于生物脑和意识的机能的潜在模型。虽然总体而言，它尚未达到一种模型的状态，例如我们尚无一种系统化的、条理性的和充分的列表，来描述关于芯片和神经系统、计算机运算和人脑运算的关联，但我们可以运用大量的关于运算的知识（因为这些知识正是我们的发明）来理智地猜想中心神经系统的结构和机制【Mu1】【Mu2】。
数学理论被用于构建适用的模型，数学隐喻被用于深思我们所知，苏珊·桑塔格关于对“病”这一比喻的使用及误用的随笔【So】，是一个有益的警示。
当然，我所描绘的这一分类并非严格和绝对的。例如社会科学领域的统计学研究，时常摇摆于模型与隐喻之间。随着范式转变，科学理论时常降级为一种陈旧的模型，但为了更好的阐述，这也是一种对非历史和历史数据的合理的认识方式。
关于这些认知工具，下面我会展示更多的细节，特别是模型和与之相关的结构。
II,3 模型：
人们可以通过思考下一阶段中，所有系统研究以及计量考察的内在布局，来分析一种数学模型的创建和机制。
一，选择一个可考察对象的列表。
二，设计一种测量方法：指定可考察对象的数值。这些数值的序列时常或多或少与一条轴线的值相关，之后测量便期望与该序列相符。
三，猜想决定被考察对象分布结果的规则，通常，是多维度的构型空间。规则有时是概率性的，有时是确定性的。平衡态非常重要，它们经常在整个构型空间中，以适宜的方程的形式，定义一个稳态定点。如果涉及时间，演化的微分方程将会被引入操作。
关于“轴”的概念，卡尔·雅斯贝斯（Karl Jaspers）对其价值和普遍文化内涵的解释值得关注，雅斯贝斯设想公元前500年左右，出现了一个进入现代性的转型期——“轴心时代”，此时人类智性焕然一新，而这则是基于两相对立的内在性和超越性。与现在的我们密切相关的便是，两种对立的图景，如同同一轴心目标下的两条相反的路径，以及对两种对立选项的自由选择的自由意志。它也是标准的对于“自由度”的物理解释背后的形象化表达，正如时常发生的那样，如今它几已丧失，形象成为了术语。
测量的理念，是现代科学的基础，它如此重要，以至于在建模中时常被不加考察地接收。因此，对于其限定条件应牢记于心。
量子模型对微观世界的描述中，“测量”是一种非常独特的相互作用，相对于为某种状态提供数据而言，它更会引发系统状态的随机变量。
经济学中，货币提供了一种关联着“价值”的普遍“轴心”，“测量”是一种被称之为市场影响的机制。
市场隐喻（包括骇人听闻的“思想自由市场”）的矛盾的内核在于，我们正在为一个由货币价值决定的一维世界，设计一个具有无与伦比的且不相容的自由度的多维世界。其原则性问题是：人们甚至不能使其相容于这一轴线的基本序列关系，更远远无法相容于多种不同的不存在的和无法比照的价值。
就此而言，市场隐喻最为自相矛盾的用法便是“思想自由市场”这一表达。
在这个市场中，只有一种观念在销售，那就是“自由市场”。返回搜狐，查看更多